Как ни печально, но пока не появится новый(проверенный) штатный аккумулятор, наверняка не скажешь, что именно является причиной ваших проблем - сдохшие аккумуляторы или высокий ток потребления портатива. Пока ясно одно - мощности вашего внешнего источника питания достаточно для работы портативы, а штатных нет. То, что вольтаж после зарядки соответствует номиналу - ничего не значит. Без нагрузки напряжение дохлого аккумулятора практически такое же, как у рабочего, надо мерять ток.
Простейший вариант проверки тока - проверка тестером практически в режиме КЗ(роль нагрузки выполняет сам тестер). В этом случае показания у исправного элемента стабильно"зашкаливают", а у дефектного сразу уменьшаются(аккумулятор не держит заряд). Но все же надежнее использовать низкоомную нагрузку (в крайнем случае длинный провод) соединив последовательно с тестером.
Предварительный вывод - истек срок службы ваших аккумуляторов. Согласно СМ параметры аккумулятора NH-14WM: 1,2V 1350mAh. Кроме того - ток потребления существенно зависит от режима работы портатива: максимальный при записи в режиме SP, минимальный при воспроизведении LP4 (примерно 40 мА). Разница 3-х кратная!
Кстати, Sony MZ-R909 имеет вход для внешнего источника питания. Не слишком часто, но они все же бывают в продаже (3В),         но можно приобрести и универсальный блок питания с требуемым вольтажем. К тому же, элементы питания типа "жвачка" не такой уж дефицит (во всяком случае не такой, как аккумулятор LIP-4WM для MZ-RH1).