element, в импровизации нет никакого единого правила для всех.

импровизации бывают разного свойства - и такие, как говорите вы, и существует так наз. spontaneous improvisation - что является целым направлением в современной музыке уже довольно давно. (да и не только в музыке)

импровизация, записанная в нотах (или просто запомненная) и сыгранная затем повторно, фактически становится композицией, это так. но тот факт, что изначально она была импровизацией, дает её автору (только ему) формальное право продолжать считать её импровизацией...

Кейт Джарретт очень долго сопротивлялся опубликованию нотных записей его полностью импровизационных сольных концертов, которые были "сняты" не им, а кем-то "со стороны", но потом сдался и разрешил это делать - кто-то его убедил в пользе этого. не знаю, кто тут более прав...